YGS Konu Anlatımı Ders Notu , İşlem

İŞLEM:

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşlemler;  gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİA kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği" (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özeliği" (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği" (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

" (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliği
işleminin etkisiz elemanı e olsun.

p

a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a^–1 biçiminde gösterilir.

A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

•  Birim elemanın tersi kendisine eşittir.  •  Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özeliği

" a, b, c Î A için,

a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,

« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,

« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özeliği" x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

      

A = {a, b, c, d} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

1)	b  c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b  c nin sonucudur. Buna göre, b  c = a dır.
2)	Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi  işlemine göre kapalıdır.
3)	Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise,  işleminin değişme özeliği vardır.
4)	Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan  işleminin etkisiz elemanı d dir.
5)	Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan  işlemine göre düzenlenmiştir. Buna göre,  işleminin yutan elemanı 1 dir.  işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.

D. MATEMATİK SİSTEMLERA, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.

1. Tanım

2. GrupA ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

1. A, « işlemine göre kapalıdır.
2. A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
3. A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
4. A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
2. A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
3. « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

Ü	« işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır.
Ü	« işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

YGS Konu Anlatımı Ders Notu, Kümeler

KÜMELER:

A. TANIM

• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
• Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özelik YöntemiKümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Şema YöntemiKüme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜMEAynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D

biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜMEHiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

1. Alt Küme

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt KümeBir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özelikleri
Her küme kendisinin alt kümesidir.

i)

      A Ì A

ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

      Æ Ì A

iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

ıv) (A Ì B ve B Ì C) ise, A Ì C dir.

v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ ve özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 dir.

Ü	Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin, • alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunmaz. • alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunur.

n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı,   dir.

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir.

n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir.

n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir.

n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2n olduğu için,

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLERA nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

1. Kümelerin Birleşimi

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

F Ì E ise, E È F = E dir. E É F ise, E È F = E dir.

2. Birleşim İşleminin Özelikleri
A È Æ = A

a)

b) A È A = A

c) A È B = B È A

d) A È (B È C) = (A È B) È C

e) A Ì B ise, A È B = B

f) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.

F Ì E ise, E Ç F = F dir. E É F ise, E Ç F = F dir.

4. Kesişim İşleminin Özelikleri
A Ç Æ = Æ

a)

b) A Ç A = A

c) A Ç B = B Ç A

d) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

e) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

f) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜMEÜzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

E Ç A = A dır. E È A = E dir. A Ì E dir. B Ì E dir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİEvrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve  ya da A' ile gösterilir.

A' = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin ÖzelikleriBir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
Buna göre, (A')' = A olur. 

1. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Buna göre, E' = Æ olur.
2. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Buna göre, Æ' = E olur.
3. Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Buna göre,
        s(A) + s(A') = s(E) olur.
4. A Ì B ise, B' Ì A' dir.
5. B' Ì A' ise, A Ì B dir.
6. E, evrensel küme olmak üzere, A È A' = E dir.
7. A Ç A' = Æ dir.
8. (A È B)' = A' Ç B'
9. (A Ç B)' = A' È B'
10. E, evrensel küme olmak üzere, E È A' = E dir.
11. E, evrensel küme olmak üzere, E Ç A' = A' dir.

I. KUVVET KÜMESİBir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2ⁿ dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKIA kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.

A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

i) E – A = A'

ii) A – B = A Ç B'

iii) (A – B)' = A' È B dir.

iv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISIA, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

1. s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
2. s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)
   – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
3. s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
4. a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

      s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

      s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

      s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

      s(T') = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

      s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

      

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

      

Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur. Apartmandakilerin kümesi K, A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, C gazetesini alanların kümesi C olmak üzere, yandaki şemada x, y, z, t bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir

Matematik Ders Notu

11 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI 

11 ile bölünebilme kuralında sayının rakamları sağdan sola doğru +, -, +, - ,+ ,- ,... şeklinde işaretlenir. (+) gruplarla, (-) grupların toplamı 0 veya 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür.

Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, (+), (-) gruplar toplamının 11 ile bölümündeki kalandır.

Örneğin; 2004 sayısını 11’ e bölelim.

2004

-  +  -  +

Görüldüğü gibi sayısının 11 ile bölümünden kalan

= -2 + 0 - 0 + 4 = 2 dir.

11 ile Bölünebilme

Dört basamaklı 7A38 sayısının 11 ile bölünebilmesini sağlayan A rakamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

7A38

- +  - +

A + 8 - 7 - 3 = 11 k

A - 2 = 11 k

A = 2 + 11k

k = O için A = 2 bulunur.

ÖRNEK:

Dört basamaklı 8A92 sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 ise A kaçtır?

ÇÖZÜM:

8A92

-  + - +

A + 2 - 8- 9 = 11k + 3

A - 15 = 11 k + 3

A = 18 + 11k

A = 7 + 11 k

(18 in 11 ile bölümünden kalan 7)

k = 0 için A = 7 bulunur.